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Einleitung

In diesem Artikel soll gezeigt werden, wie man den Zahlenbereich der reellen Zahlen auf möglichst einfache Weise zu den komplexen Zahlen und dann weiter zu den Quaternionen erweitern kann. Das soll mit einer minimalen Anzahl an Definitionen geschehen, aus denen dann möglichst viel geschlussfolgert wird. Es geht hier also um das Verständnis des Aufbaus von ℂ und ℍ aus ℝ, um zu sehen, wie sich die neuen Zahlenbereiche natürlich aus den reellen Zahlen entwickeln lassen, und ihnen die Erscheinung als abgehobenes, willkürliches, nichtreales Konstrukt zu nehmen. Der Artikel erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und absolute mathematische Korrektheit.

1.   1. Erweiterung des Zahlenbereichs

Ausgehend von den reellen Zahlen wollen wir unseren Zahlenbereich erweitern. Dies geschieht, indem wir eine neue Variable einführen.
Wir nennen sie 𝐢. Weil 𝐢 ein neues Element sein soll, legen wir fest:

𝐢   :∉   ℝ
Auch wenn 𝐢 nicht zu unserem Zahlenbereich gehört, gelten für 𝐢 die Gesetze, die für Variablen gelten. Hier ein paar Beispiele:

𝐢 + 𝐢   =  2 ⋅ 𝐢   =   2𝐢   =   𝐢2   =   𝐢  ⋅  2
𝐢 - 𝐢   =   1𝐢 - 1𝐢  =  (1-1)𝐢  =  0𝐢  =  0
0 - 𝐢  =  -𝐢  =  -1𝐢  =  (-1)⋅𝐢
8𝐢 - 10𝐢  =  (8-10)𝐢  =  -2𝐢
𝐢/5  =  (1/5)⋅𝐢

Praktisch die Vektoreigenschaften von 𝐢 als Variable. Doch was ist

𝐢  ⋅  𝐢
Die Antwort auf diese Frage lässt sich weder aus den Rechengesetzen für unsere Zahlen, noch aus den Rechengesetzen für Variablen ableiten.
Deshalb haben wir die Möglichkeit selbst festzulegen, was 𝐢 ⋅ 𝐢 sein soll. Soll nun folgendes erfüllt sein:

𝐢 ⋅ 𝐢  :=   -1   (Produktdefinition)
Wie wir wissen, gibt es keine Zahl aus unserem Zahlenbereich, deren Quadrat -1 ist. Unsere Definition widerspricht also nicht unserer vorher gemachten Festlegung, dass 𝐢 nicht aus unserem Zahlenbereich sein soll. Andernfalls könnte man 𝐢 auflösen und würde für 𝐢 eine Zahl aus ℝ bekommen. Ganz nebenbei haben wir mit 𝐢 eine Lösung für die Gleichung x² = -1 geschaffen.
Unsere eben gemachte Definition hat eine Vielzahl von Konsequenzen. z.B.

((𝐢⋅𝐢)⋅𝐢)⋅𝐢   =   ((-1)⋅𝐢)⋅𝐢   =   (0-𝐢)⋅𝐢   =   0⋅𝐢 - 𝐢⋅𝐢   =   0 - (-1)   =   (0 + 1)   =   1
𝐢⋅(𝐢⋅(𝐢⋅𝐢)) = 𝐢⋅(𝐢⋅(-1)) = 𝐢⋅(0-𝐢) = 𝐢⋅0 - 𝐢⋅𝐢 = 0 - (-1) = (0 + 1) = 1

Damit wir nicht so kompliziert rechnen müssen, nehmen wir das Assoziativgesetz für Multiplikationen unter 𝐢's als erfüllt an. Der Beweis dafür sei dem Hobby-Mathematiker überlassen.
Also:

𝐢⋅𝐢⋅𝐢⋅𝐢⋅𝐢 = (𝐢⋅𝐢)(𝐢⋅𝐢)⋅𝐢 = (-1)⋅(-1)⋅𝐢 = 1⋅𝐢 = 𝐢

Höhere Potenzen von 𝐢 können also durch Anwendung unserer Produktdefinition abgebaut werden.

(-𝐢)⋅(-𝐢) = (-1)𝐢⋅(-1)𝐢 = (-1)(-1)⋅𝐢⋅𝐢 = (1)⋅ 𝐢⋅𝐢 = 𝐢⋅𝐢 = -1

Also ist auch -𝐢 eine Lösung von x² = -1. (Dass 𝐢² = (-𝐢)² lässt sich allein schon aus den Rechenregeln für Variablen schließen, d.h. ohne auf die Produktdefinition angewiesen sein zu müssen).
Für die Wurzel von -1 definiert man nun:

(-1)   :=  𝐢
Die bei der Definition von (-1) weggefallene 2. Lösung von x² = -1 lässt sich nun einfach als -(-1) schreiben.
Da nun das Quadrat von 𝐢 bekannt ist, können wir auch den Kehrwert von 𝐢 ermitteln. Weil das Produkt von 𝐢 mit einer Zahl niemals 1 sein kann, kann der Kehrwert von 𝐢 keine Zahl sein.
Aber mit unserer Produktdefinition finden wir:

𝐢⋅(-𝐢) = 𝐢⋅((-1)⋅𝐢) = (𝐢⋅(-1))⋅𝐢 = ((-1)⋅𝐢)⋅𝐢 = (-1)⋅(𝐢⋅𝐢) = (-1)⋅(-1) = 1

Damit haben wir unseren Kehrwert von 𝐢 gefunden und können nun auch negative Potenzen und Brüche mit 𝐢 ausrechnen.
Letztlich lassen sich mit den bis jetzt gefundenen Regeln alle Rechenausdrücke über den Grundrechenarten in ℂ auf folgende Form bringen:

c = a + b𝐢

c wird auch komplexe Zahl genannt. 𝐢 auch imaginäre Einheit. Das Gesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist nicht schwer zu ermitteln:

(a + b𝐢)⋅(c + d𝐢) = a⋅c + a⋅d𝐢 + b𝐢⋅c + b𝐢⋅d𝐢 = (ac - bd) + (ad + bc)𝐢

Das Ergebnis ist also wieder eine komplexe Zahl c = e + f𝐢 mit e = ac - bd und f = ad + bc. Alle weiteren Gesetze lassen sich bei den Gesetzen für die komplexen Zahlen finden.

Nachdem wir nun unseren erweiterten Zahlenbereich haben, und mit 𝐢 ganz gut rechnen können, könnte man jetzt trotzdem noch fragen, was 𝐢 ist. Das würde aber nur heißen, dass man 𝐢 nicht akzeptiert. Genauso gut könnte man ja auch fragen: Was ist 2? 2 lässt sich nicht lösen, sondern nur durch kompliziertere Ausdrücke ersetzen. Es ist also reine Ermessenssache ob man 2 als ungelöstes Problem sieht oder diese Zahl als solche akzeptiert und damit rechnet. So kann man es auch mit 𝐢 machen. Man braucht die Frage was 𝐢 denn nun wirklich sei nicht beantworten, sondern kann mit 𝐢 nach den gefundenen Regeln rechnen und den Zahlenbereich der komplexen Zahlen zur Beschreibung direkt messbarer Größen verwenden. z.B. die komplexe Wechselstromrechnung. (komplex ist hier wirklich als komplex, also nicht reell und nicht als "kompliziert" gemeint).

2.   2. Erweiterung des Zahlenbereichs

Unseren nun gewonnenen Zahlenbereich der komplexen Zahlen ℂ wollen wir jetzt nochmal erweitern. Dazu führen wir wieder eine neue Variable ein. Sie soll 𝐣 heißen.
Die Einführung von 𝐣 verläuft ähnlich wie die Einführung von 𝐢. Es soll gelten:

𝐣  :∉   C 𝐣 ⋅ 𝐣  :=  -1
𝐣 nennen wir quaternionische Einheit. Mit dem nun aufgebauten Zahlenbereich haben wir also nicht nur eine, sondern 2 nichtreelle Einheiten. Also sozusagen die komplexen Zahlen mit doppelten Imaginärteil. Da sich 𝐣 genauso verhält wie 𝐢, können die Gesetze für die komplexen Zahlen genauso wie auf a + b𝐢 auch auf a + b𝐣 angewendet werden.
Dennoch ist noch nicht alles geklärt. Was soll z.B. folgendendes sein:

(𝐢   +   𝐣) ⋅ (𝐢   -   𝐣)
(𝐢 + 𝐣)(𝐢 - 𝐣) = (𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - 𝐣𝐣) = (-1) + 0 - (-1) = 0

Das steht aber im Widerspruch dazu, dass wenn ein Produkt 0 ist, mindestens einer der beiden Faktoren 0 sein muss.
Unser neuer Körper ist nicht nullteilerfrei. Um dieses Problem zu beheben, müssen wir eine unserer vertrauten Rechenregel nämlich die Kommutativität für einen Fall aufheben. Es muss also die Entscheidung getroffen werden, was man haben will. Ob einen kommutativen, aber nicht nullteilerfreien Körper oder einen nullteilfreien, dafür aber nicht kommutativen Körper. Die Nullteilerfreiheit scheint die gravierendere Eigenschaft zu sein. Deshalb geben wir die Kommutativität auf und es soll nicht mehr gelten:

𝐣 ⋅ 𝐢  =   𝐢 ⋅ 𝐣    
sondern stattdessen:
(𝐢 + 𝐣)(𝐢 - 𝐣) = (𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - 𝐣𝐣) = (-1) -𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - (-1) = -𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 ≠ 0;

Wir haben zwar das Nullteilerproblem beseitigt, allerdings stellen sich nun neue Schwierigkeiten ein. Was soll z.B. folgendes sein: 𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢 oder 𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢? Um diese Potenzen abbauen zu können, definieren wir eine neue Regel:

𝐣 ⋅ 𝐢  :=   -(𝐢 ⋅ 𝐣)    (Gemischtproduktdefinition)
Sofort müssen wir nun überprüfen, ob mit der neuen Definition das Nullteilerproblem wieder auftritt:

(𝐢 + 𝐣) ⋅ (𝐢 - 𝐣) = 𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - 𝐣𝐣 = 𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 - 𝐢𝐣 - 𝐣𝐣 = (-1) - 2𝐢𝐣 - (-1) = -2𝐢𝐣 ≠ 0

Unsere Gemischtproduktregel lässt also das Nullteilerproblem nicht wieder auftreten. Ist also konform mit der Beseitigung dessen. Allerdings gilt wie man sieht die 3. binomische Formel nicht allgemein.
Kommen wir nun zu den Potenzen:

𝐢𝐣𝐢𝐣 = 𝐢𝐣⋅𝐢𝐣 = 𝐢𝐣⋅(-𝐣𝐢) = 𝐢⋅(-𝐣𝐣)⋅𝐢 = 𝐢⋅(1)⋅𝐢 = 𝐢⋅𝐢 = -1
𝐢𝐣𝐣𝐣𝐢𝐢𝐢 = 𝐢𝐣 ⋅ 𝐣𝐣 ⋅ 𝐢𝐢 ⋅ 𝐢 = 𝐢𝐣 ⋅ (-1)⋅(-1) ⋅ 𝐢 = 𝐢𝐣 ⋅ 𝐢 = -𝐣𝐢 ⋅ 𝐢 = -𝐣⋅(-1) = 𝐣

Wie wir sehen können wir mit unserer Gemischtproduktregel Potenzen aus Produkten von 𝐢 mit 𝐣 abbauen.
Somit lassen sich alle Rechenausdrücke zu folgender Form vereinfachen:

h = a + b𝐢 + c𝐣 + d𝐢𝐣

h wird auch Quaternion genannt. Also ein vierteiliger Ausdruck. Jetzt kann man natürlich fragen, was das Produkt 𝐢𝐣 denn nun wirklich sei. Das wäre im Prinzip die gleiche Diskussion wie schon bei 𝐢. Da sich 𝐢𝐣 mit mit unseren Regeln nicht weiter vereinfachen bzw. "auflösen" lässt, ist es sinnvoll es als neues Element zu akzeptieren. Zur Vereinfachung kann man einen zusätzlichen Namen für 𝐢𝐣 wählen:

k:= 𝐢𝐣

Die neue Bezeichnung erschwert aber das Rechnen, weil sie die Zusammengesetztheit von ij verbirgt und das Assoziativgesetz in zusammengesetzten Ausdrücken dann nicht mehr direkt angewendet werden kann. Deshalb werde ich k nur in Ausnahmefällen benutzen.
Wie wir vorhin gesehen haben gilt: 𝐢𝐣⋅𝐢𝐣 = (𝐢𝐣)² = k² = -1. Also verhält sich die gemischte Einheit 𝐢𝐣 (oder k) genauso wie die imaginäre Einheit 𝐢 und die quaternionische Einheit 𝐣.
Die Gesetze für die komplexen Zahlen lassen sich demzufolge auch auf a + b𝐢𝐣 anwenden. Also sind alle 3 nichtreellen Einheiten (𝐢, 𝐣, 𝐢𝐣) untereinander gleichwertig und symmetrisch.
Unter diesem Umstand ist die Bezeichnung von k vorteilhaft, die gleichwertige Symmetrie von i, j, k zum Ausdruck zu bringen. Nun noch die Multiplikationstabelle für die Quaternionen:

1 𝐢 𝐣 𝐢𝐣 1 1 𝐢 𝐣 𝐢𝐣 𝐢 𝐢 -1 𝐢𝐣 -𝐣 𝐣 𝐣 -𝐢𝐣 -1 𝐢 𝐢𝐣 𝐢𝐣 𝐣 -𝐢 -1
Alle weiteren Gesetze lassen sie bei den Gesetzen für Quaternionen finden. Anders als die komplexen Zahlen schaffen die Quaternionen keine Lösungen für vorher unlösbare Fälle.
Sie erhöhen lediglich die Vielfachheit schon vorhandener Lösungen. z.B. hat x² = -1 nun unendlich viele Lösungen:
(𝐢, -𝐢, 𝐣, -𝐣, 𝐢𝐣, -𝐢𝐣) oder (i/V2 + j/V2) oder: (a*cos phi + b*sin phi)² = -1. a,b € {i, j, ij} a ≠ b

Der vollständige Lösungsraum für q² = -1 ist:
q= (a𝐢 + b𝐣 + c𝐢𝐣) mit a² + b² + c² = 1;

Um das zu veranschaulichen, kann man sich Quaternionen als Drehungen vorstellen. Die Nacheinanderausführung von 2 Drehungen entspricht der Multiplikation von 2 Quaternionen. Somit müsste die Nacheinanderausführung von Drehungen gleich einer Drehung sein. Da wir keine Rechenregeln für Drehungen haben, brauchen wir eine Methode um feststellen zu können, welcher Drehung zwei nacheinander ausgeführte Drehungen gleichen. Dazu nehmen wir die Anschaulichkeit zur Hilfe: Zwei hintereinander ausgeführte Drehungen sind gleich einer Drehung, wenn sie beide einen Körper von einer Ausgangslage in die gleiche Endlage versetzen.
Um es kurz zu machen: q zu bestimmen bedeutet eine 180° Drehung zu finden, die bei zweimaliger Ausführung eine 360° Drehung ergibt, die den Körper in die gleiche Ausgangslage versetzt. Da es nur eine 360° Drehung gibt (Die verschiedenen Achsen spielen keine Rolle) ist jede 180° Drehung ein Kandidat für q. Weil der Vektor (a,b,c) die Drehachse des Körpers darstellt, ist jeder Vektor (a,b,c) der Länge 1 eine Lösung für q²= -1 wenn er mit q eingesetzt wird.

Die Quaternionen können also vereinfacht gesagt als komplexe Zahlen mit dreifachem Imaginäranteil aufgefasst werden.