Achtung! Seite enthält MathML. Bitte mit Firefox oder anderem MathML-kompatiblen Browser aufrufen. Sonst falsche Darstellung der Formeln.

Einleitung

In diesem Artikel soll gezeigt werden, wie man den Zahlenbereich der reellen Zahlen auf möglichst einfache Weise zu den komplexen Zahlen und dann weiter zu den Quaternionen erweitern kann. Das soll mit einer minimalen Anzahl an Definitionen geschehen, aus denen dann möglichst viel geschlussfolgert wird. Es geht hier also um das Verständnis des Aufbaus von ℂ und ℍ aus ℝ, um zu sehen, wie sich die neuen Zahlenbereiche natürlich aus den reellen Zahlen entwickeln lassen, und ihnen die Erscheinung als abgehobenes, willkürliches, nichtreales Konstrukt zu nehmen. Der Artikel erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und absolute mathematische Korrektheit.

1.   1. Erweiterung des Zahlenbereichs

Ausgehend von den reellen Zahlen wollen wir unseren Zahlenbereich erweitern. Dies geschieht, indem wir eine neue Variable einführen.
Wir nennen sie 𝐢. Weil 𝐢 ein neues Element sein soll, legen wir fest:

𝐢   :∉   ℝ
Auch wenn 𝐢 nicht zu unserem Zahlenbereich gehört, gelten für 𝐢 die Gesetze, die für Variablen gelten. Hier ein paar Beispiele:

𝐢 + 𝐢   =  2 ⋅ 𝐢   =   2𝐢   =   𝐢2   =   𝐢  ⋅  2
𝐢 - 𝐢   =   1𝐢 - 1𝐢  =  (1-1)𝐢  =  0𝐢  =  0
0 - 𝐢  =  -𝐢  =  -1𝐢  =  (-1)⋅𝐢
8𝐢 - 10𝐢  =  (8-10)𝐢  =  -2𝐢
𝐢/5  =  (1/5)⋅𝐢

Praktisch die Vektoreigenschaften von 𝐢 als Variable. Doch was ist

𝐢  ⋅  𝐢
Die Antwort auf diese Frage lässt sich weder aus den Rechengesetzen für unsere Zahlen, noch aus den Rechengesetzen für Variablen ableiten.
Deshalb haben wir die Möglichkeit selbst festzulegen, was 𝐢 ⋅ 𝐢 sein soll. Soll nun folgendes erfüllt sein:

𝐢 ⋅ 𝐢  :=   -1   (Produktdefinition)
Wie wir wissen, gibt es keine Zahl aus unserem Zahlenbereich, deren Quadrat -1 ist. Unsere Definition widerspricht also nicht unserer vorher gemachten Festlegung, dass 𝐢 nicht aus unserem Zahlenbereich sein soll. Andernfalls könnte man 𝐢 auflösen und würde für 𝐢 eine Zahl aus ℝ bekommen. Ganz nebenbei haben wir mit 𝐢 eine Lösung für die Gleichung x² = -1 geschaffen.
Unsere eben gemachte Definition hat eine Vielzahl von Konsequenzen. z.B.

((𝐢⋅𝐢)⋅𝐢)⋅𝐢   =   ((-1)⋅𝐢)⋅𝐢   =   (0-𝐢)⋅𝐢   =   0⋅𝐢 - 𝐢⋅𝐢   =   0 - (-1)   =   (0 + 1)   =   1
𝐢⋅(𝐢⋅(𝐢⋅𝐢)) = 𝐢⋅(𝐢⋅(-1)) = 𝐢⋅(0-𝐢) = 𝐢⋅0 - 𝐢⋅𝐢 = 0 - (-1) = (0 + 1) = 1

Damit wir nicht so kompliziert rechnen müssen, nehmen wir das Assoziativgesetz für Multiplikationen unter 𝐢's als erfüllt an. Der Beweis dafür sei dem Hobby-Mathematiker überlassen.
Also:

𝐢⋅𝐢⋅𝐢⋅𝐢⋅𝐢 = (𝐢⋅𝐢)(𝐢⋅𝐢)⋅𝐢 = (-1)⋅(-1)⋅𝐢 = 1⋅𝐢 = 𝐢

Höhere Potenzen von 𝐢 können also durch Anwendung unserer Produktdefinition abgebaut werden.

(-𝐢)⋅(-𝐢) = (-1)𝐢⋅(-1)𝐢 = (-1)(-1)⋅𝐢⋅𝐢 = (1)⋅ 𝐢⋅𝐢 = 𝐢⋅𝐢 = -1

Also ist auch -𝐢 eine Lösung von x² = -1. (Dass 𝐢² = (-𝐢)² lässt sich allein schon aus den Rechenregeln für Variablen schließen, d.h. ohne auf die Produktdefinition angewiesen sein zu müssen).
Für die Wurzel von -1 definiert man nun:

(-1)   :=  𝐢
Die bei der Definition von (-1) weggefallene 2. Lösung von x² = -1 lässt sich nun einfach als -(-1) schreiben.
Da nun das Quadrat von 𝐢 bekannt ist, können wir auch den Kehrwert von 𝐢 ermitteln. Weil das Produkt von 𝐢 mit einer Zahl niemals 1 sein kann, kann der Kehrwert von 𝐢 keine Zahl sein.
Aber mit unserer Produktdefinition finden wir:

𝐢⋅(-𝐢) = 𝐢⋅((-1)⋅𝐢) = (𝐢⋅(-1))⋅𝐢 = ((-1)⋅𝐢)⋅𝐢 = (-1)⋅(𝐢⋅𝐢) = (-1)⋅(-1) = 1

Damit haben wir unseren Kehrwert von 𝐢 gefunden und können nun auch negative Potenzen und Brüche mit 𝐢 ausrechnen.
Letztlich lassen sich mit den bis jetzt gefundenen Regeln alle Rechenausdrücke über den Grundrechenarten in ℂ auf folgende Form bringen:

c = a + b𝐢

c wird auch komplexe Zahl genannt. 𝐢 auch imaginäre Einheit. Das Gesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist nicht schwer zu ermitteln:

(a + b𝐢)⋅(c + d𝐢) = a⋅c + a⋅d𝐢 + b𝐢⋅c + b𝐢⋅d𝐢 = (ac - bd) + (ad + bc)𝐢

Das Ergebnis ist also wieder eine komplexe Zahl c = e + f𝐢 mit e = ac - bd und f = ad + bc. Alle weiteren Gesetze lassen sich bei den Gesetzen für die komplexen Zahlen finden.

Nachdem wir nun unseren erweiterten Zahlenbereich haben, und mit 𝐢 ganz gut rechnen können, könnte man jetzt trotzdem noch fragen, was 𝐢 ist. Das würde aber nur heißen, dass man 𝐢 nicht akzeptiert. Genauso gut könnte man ja auch fragen: Was ist 2? 2 lässt sich nicht lösen, sondern nur durch kompliziertere Ausdrücke ersetzen. Es ist also reine Ermessenssache ob man 2 als ungelöstes Problem sieht oder diese Zahl als solche akzeptiert und damit rechnet. So kann man es auch mit 𝐢 machen. Man braucht die Frage was 𝐢 denn nun wirklich sei nicht beantworten, sondern kann mit 𝐢 nach den gefundenen Regeln rechnen und den Zahlenbereich der komplexen Zahlen zur Beschreibung direkt messbarer Größen verwenden. z.B. die komplexe Wechselstromrechnung. (komplex ist hier wirklich als komplex, also nicht reell und nicht als "kompliziert" gemeint).

2.   2. Erweiterung des Zahlenbereichs

Unseren nun gewonnenen Zahlenbereich der komplexen Zahlen ℂ wollen wir jetzt nochmal erweitern. Dazu führen wir wieder eine neue Variable ein. Sie soll 𝐣 heißen.
Die Einführung von 𝐣 verläuft ähnlich wie die Einführung von 𝐢. Es soll gelten:

𝐣  :∉   C 𝐣 ⋅ 𝐣  :=  -1
𝐣 nennen wir quaternionische Einheit. Mit dem nun aufgebauten Zahlenbereich haben wir also nicht nur eine, sondern 2 nichtreelle Einheiten. Also sozusagen die komplexen Zahlen mit doppelten Imaginärteil. Da sich 𝐣 genauso verhält wie 𝐢, können die Gesetze für die komplexen Zahlen genauso wie auf a + b𝐢 auch auf a + b𝐣 angewendet werden.
Dennoch ist noch nicht alles geklärt. Was soll z.B. folgendendes sein:

(𝐢   +   𝐣) ⋅ (𝐢   -   𝐣)
(𝐢 + 𝐣)(𝐢 - 𝐣) = (𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - 𝐣𝐣) = (-1) + 0 - (-1) = 0

Das steht aber im Widerspruch dazu, dass wenn ein Produkt 0 ist, mindestens einer der beiden Faktoren 0 sein muss.
Unser neuer Körper ist nicht nullteilerfrei. Um dieses Problem zu beheben, müssen wir eine unserer vertrauten Rechenregel nämlich die Kommutativität für einen Fall aufheben. Es muss also die Entscheidung getroffen werden, was man haben will. Ob einen kommutativen, aber nicht nullteilerfreien Körper oder einen nullteilfreien, dafür aber nicht kommutativen Körper. Die Nullteilerfreiheit scheint die gravierendere Eigenschaft zu sein. Deshalb geben wir die Kommutativität auf und es soll nicht mehr gelten:

𝐣 ⋅ 𝐢  =   𝐢 ⋅ 𝐣    
sondern stattdessen:
(𝐢 + 𝐣)(𝐢 - 𝐣) = (𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - 𝐣𝐣) = (-1) -𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - (-1) = -𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 ≠ 0;

Wir haben zwar das Nullteilerproblem beseitigt, allerdings stellen sich nun neue Schwierigkeiten ein. Was soll z.B. folgendes sein: 𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢 oder 𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢𝐣𝐢? Um diese Potenzen abbauen zu können, definieren wir eine neue Regel:

𝐣 ⋅ 𝐢  :=   -(𝐢 ⋅ 𝐣)    (Gemischtproduktdefinition)
Sofort müssen wir nun überprüfen, ob mit der neuen Definition das Nullteilerproblem wieder auftritt:

(𝐢 + 𝐣) ⋅ (𝐢 - 𝐣) = 𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 + 𝐣𝐢 - 𝐣𝐣 = 𝐢𝐢 - 𝐢𝐣 - 𝐢𝐣 - 𝐣𝐣 = (-1) - 2𝐢𝐣 - (-1) = -2𝐢𝐣 ≠ 0

Unsere Gemischtproduktregel lässt also das Nullteilerproblem nicht wieder auftreten. Ist also konform mit der Beseitigung dessen. Allerdings gilt wie man sieht die 3. binomische Formel nicht allgemein.
Kommen wir nun zu den Potenzen:

𝐢𝐣𝐢𝐣 = 𝐢𝐣⋅𝐢𝐣 = 𝐢𝐣⋅(-𝐣𝐢) = 𝐢⋅(-𝐣𝐣)⋅𝐢 = 𝐢⋅(1)⋅𝐢 = 𝐢⋅𝐢 = -1
𝐢𝐣𝐣𝐣𝐢𝐢𝐢 = 𝐢𝐣 ⋅ 𝐣𝐣 ⋅ 𝐢𝐢 ⋅ 𝐢 = 𝐢𝐣 ⋅ (-1)⋅(-1) ⋅ 𝐢 = 𝐢𝐣 ⋅ 𝐢 = -𝐣𝐢 ⋅ 𝐢 = -𝐣⋅(-1) = 𝐣

Wie wir sehen können wir mit unserer Gemischtproduktregel Potenzen aus Produkten von 𝐢 mit 𝐣 abbauen.
Somit lassen sich alle Rechenausdrücke zu folgender Form vereinfachen:

h = a + b𝐢 + c𝐣 + d𝐢𝐣

h wird auch Quaternion genannt. Also ein vierteiliger Ausdruck. Jetzt kann man natürlich fragen, was das Produkt 𝐢𝐣 denn nun wirklich sei. Das wäre im Prinzip die gleiche Diskussion wie schon bei 𝐢. Da sich 𝐢𝐣 mit mit unseren Regeln nicht weiter vereinfachen bzw. "auflösen" lässt, ist es sinnvoll es als neues Element zu akzeptieren. Zur Vereinfachung kann man einen zusätzlichen Namen für 𝐢𝐣 wählen:

k:= 𝐢𝐣

Die neue Bezeichnung erschwert aber das Rechnen, weil sie die Zusammengesetztheit von ij verbirgt und das Assoziativgesetz in zusammengesetzten Ausdrücken dann nicht mehr direkt angewendet werden kann. Deshalb werde ich k nur in Ausnahmefällen benutzen.
Wie wir vorhin gesehen haben gilt: 𝐢𝐣⋅𝐢𝐣 = (𝐢𝐣)² = k² = -1. Also verhält sich die gemischte Einheit 𝐢𝐣 (oder k) genauso wie die imaginäre Einheit 𝐢 und die quaternionische Einheit 𝐣.
Die Gesetze für die komplexen Zahlen lassen sich demzufolge auch auf a + b𝐢𝐣 anwenden. Also sind alle 3 nichtreellen Einheiten (𝐢, 𝐣, 𝐢𝐣) untereinander gleichwertig und symmetrisch.
Unter diesem Umstand ist die Bezeichnung von k vorteilhaft, die gleichwertige Symmetrie von i, j, k zum Ausdruck zu bringen. Nun noch die Multiplikationstabelle für die Quaternionen:

1 𝐢 𝐣 𝐢𝐣 1 1 𝐢 𝐣 𝐢𝐣 𝐢 𝐢 -1 𝐢𝐣 -𝐣 𝐣 𝐣 -𝐢𝐣 -1 𝐢 𝐢𝐣 𝐢𝐣 𝐣 -𝐢 -1
Alle weiteren Gesetze lassen sie bei den Gesetzen für Quaternionen finden. Anders als die komplexen Zahlen schaffen die Quaternionen keine Lösungen für vorher unlösbare Fälle.
Sie erhöhen lediglich die Vielfachheit schon vorhandener Lösungen. z.B. hat x² = -1 nun unendlich viele Lösungen:
(𝐢, -𝐢, 𝐣, -𝐣, 𝐢𝐣, -𝐢𝐣) oder (i/V2 + j/V2) oder: (a*cos phi + b*sin phi)² = -1. a,b € {i, j, ij} a ≠ b

Der vollständige Lösungsraum für q² = -1 ist:
q= (a𝐢 + b𝐣 + c𝐢𝐣) mit a² + b² + c² = 1;

Quaternionen können zur Speicherung von Drehungen im R3 verwendet werden. Das Format sieht folgendermaßen aus: Die Drehung wird in Drehwinkel und Drehachse zerlegt. Der Drehwinkel wird im Realteil des Quaternions
gespeichert, die Achse in den 3 nichtreellen Einheiten. Der Richtungsvektor (x,y,z) der Drehachse wird also in (i, j, k) gespeichert. Ein Drehquaternion hat immer die Länge 1. Somit variiert auch die Länge
des Richtungsvektors der Drehachse. Geht der Drehwinkel gegen 0, dann geht der Realteil gegen 1 und der Richtungsvektor gegen (0, 0, 0). Das Drequaternion (1,0,0,0) ist eine Drehung um 0°. Der Richtungsvektor
ist jetzt der Nullvektor und liefert keine Aussage mehr über die Drehachse. Aber das braucht er auch nicht mehr, weil die Drehachse bei einer 0° Drehung keine Rolle mehr spielt.
Eine 180° Drehunge wird durch das Quaternion (0, x,y,z) dargestellt. Der Richtungsvektor der Drehachse hat nun maximale Länge. Wird der Winkel noch größer, strebt der Realteil gegen -1 und der Richtungsvektor gegen
(0,0,0). Eine 360° Drehung wird durch das Quaternion (-1,0,0,0) dargestellt. Wieder ist der Richtungsvektor der Nullvektor und liefert keine Aussage über die Drehachse. Aber das ist auch nicht nötig, denn egal
welche Achse man bei der 360° Drehung verwendet, es kommt immer die gleiche Endlage des Körpers raus (Nämlich die Ausgangslage).
Somit wird jede Drehung ausnahmslos durch genau 2 Quaternionen dargestellt. Nämlich durch q und -q. Der Winkel im Quaternion hat den Bereich von 0° bis 360°. Es wird immer in dieselbe Orientierung gedreht.
Möchte man in die entgegengesetzte Orientierung drehen, invertiert man den Richtungsvektor.
Verwendet man Quaternionen um Drehgruppen von Körpern zu erstellen, enthalten diese Gruppen doppelt so viele Elemente wie bei der Darstellung mit Matrizen. Das kommt daher, da Drehmatrizen eindeutig sind,
da sie nur die Endlage der Drehung speichern. Um die gleichen Drehgruppen wie bei den Matrizen zu bekommen, muss man die Faktorgruppe der Quaternionendrehgruppe bezüglich {1,-1} bilden.

Die unfaktorisierten Gruppen sind die binären Gruppen. So gibt es z.B. eine binäre Ikosadergruppe. Diese enthält 120 Elemente.

Definition binäre Gruppe:

Eine binäre Gruppe ist eine Gruppe, welche genau ein Element der Ordnung 2 enthält. Das sogenannte binärneutrale Element.
Jedes Element der Gruppe hat eine binärinverses Element. Werden das Element und sein binärinverses Element verknüpft kommt das binärneutrale Element heraus.
Vereinfacht kann man sagen, dass eine binäre Gruppe noch ein 2. Element hat, was sich ähnlich verhält wie das neutrale Element der Gruppe.
Während das neutrale Element alle Elemente der Gruppe auf sich selbst abbildet, bildet das binärneutrale Element jedes Element auf sein binärinverses Element ab.
Die Rechts- und Linkseindeutigkeit, wie sie beim neutralen und inversem Element gegeben ist, ist auch beim binärneutralem und binärinversem Element gegeben.
Neutrales Element und binärneutrales Element sind zueinander binärinverse Elemente.
Bei den Drehquaternionen ist 1 das neutrale Element und -1 das binär neutrale Element.

-1*1 = -1 da das neutrale Element das binärinverse Element auf sich selbst abbildet.
1*-1 = -1 da das binärneutrale Element das neutrale Element auf sein binärinverses Element abbildet.
Neutrales und binärneutrales Element sind verschieden und können nebeneinander koexistieren.

Im Gegensatz zu den Drehmatrizen, wo eine Inversion (Multiplikation mit -1) der Drehmatrix zu einer Drehspiegelmatrix führt, bleibt die Inversion bei Quaternionen wirkungslos. Somit können Quaternionen keine Drehspiegelungen und
damit auch keine Spiegelungen abbilden. Bei Matrizen ist eine Ebenenspiegelung eine Drehspiegelung um 180° (Drehung um 180° um den Normalenvektor der Spiegelebene + Inversion (Punktspiegelung am Schnittpunkt von Drehachse und Spiegelebene).

Drehkomplexe Zahlen

-a -bi:     Multiplikation mit -1, Drehung um 180°, Spiegelung des Drehvektors, Quotient ist -1 (Drehungen subtrahieren sich zu +-180°)
 a -bi:     inverses Element, gleiche Drehung in die entgegengesetzte Orientierung, Drehungen heben sich auf, Produkt ist 1
-a +bi:    Drehungen addieren sich zu 180° Produkt ist -1

Drehquaternionen

-r -ai -bj -cij:     Multiplikation mit -1, Drehung mit gleicher Endlage nur mit der anderen Orientierung: Quotient ist -1 (binär neutrales Element) Drehungen subtrahieren sich zu 360°
 r -ai -bj -cij:     inverses Element, Drehachse wird invertiert, gleiche Drehung in die andere Orientierung, Produkt ist 1 (Drehungen addieren sich zu 0°)
-r +ai +bj +cij:  binär inverses Element, Drehungen addieren sich zu 360°: Produkt ist -1 (binär neutrales Element)

Drehmatrix: -M = M*(-id) Punktspiegelung am Ursprung, abhängig von Dimension: n gerade: Drehung, n ungerade: Punktspiegelung (Inversion)