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Untergruppen in ℝ

0 -1 1
G = 1 = {1}    ≅    C1 Identitätsgruppe

G = -1 = {1, -1}    ≅    C2    ≅    D1 reelle Gruppe, Spiegelung an 0, volle symmetrische Gruppe des Dipols, 2-Ecks, 1-Simplexes, 1-Parallelotops


Untergruppen in ℂ


0 -1 1 𝐢 -𝐢

G = {1, -1} =-1
    ≅ -1 0 0 -1   ≅   C2   Drehung um 180°, Drehgruppe eines 2-Ecks, Rechtecks, Raute

G = -12+32𝐢, -12-32𝐢   ≅ C3   Drehung um 120° Drehgruppe eines gleichseitigen Dreiecks

G = 1, 𝐢, -1, -𝐢   ≅𝐢≅ C4 ≅ Dic1   Drehung um 90° oder komplexe Gruppe, Drehgruppe Quadrat, quadratische Raute

G = 3 - 58 +  5 + 58𝐢 ≅ C5   Drehung um 72°

G = 12 +  32𝐢 ≅ C6   Drehung um 60°

G = 12+12𝐢 ≅ C8   Drehung um 45°

G = 5 +14  +  5 - 58𝐢 ≅ C10   Drehung um 36°

G = 32 +  12𝐢 ≅ C12   Drehungen um 30°

G = 181+5+6(5-5)  +  183(1+5) - 2(5-5)𝐢 ≅ C15   Drehungen um 24°

G = 122+2 +  122-2𝐢 ≅ C16   Drehungen um 22.5°

G = 5 + 58 +  3 -58𝐢 ≅ C20   Drehung um 18°

G = 6+24 +  6-24𝐢 ≅ C24   Drehung um 15°

Untergruppen in ℍ

Die Drehung eines Körpers in ℝ³ kann in Quaternionen ausgedrückt werden. Im Gegensatz zu Matrizen können Quaternionen Drehungen bis zu einem Betrag von 360° speichern. Matrizen können nur Drehungen bis zu einem Betrag von 180° speichern. Deshalb gibt es immer genau 2 Quaternionendrehungen, die einen Körper von einer Ausgangslage in die gleiche Endlage befördern. Nämlich immer auch die Drehung vom Winkel 360° - |phi| in die andere Orientierung. Die andere Orientierung kann auf 2 Arten erreicht werden. Entweder man ändert den Sinn der Drehung d.h aus einer Linksdrehung wird eine Rechtsdrehung und umgekehrt oder man behält die Händigkeit der Drehung bei, und ändert die Orientierung der Achse. Also eine Linksdrehung 20° um x wird durch eine Linksdrehung 20° um -x wieder rückgängig gemacht. Die Darstellung von Drehungen bei den Quaternionen verwendet die 2. Methode. Die Orientierung der Drehung ist also immer gleich. Es wird nur der Betrag des Winkels geführt. Das reicht aber, da für die entgegengesetzte Drehung die Achse invertiert werden kann. Für die Anwendung der Quaternionendrehungen im ℝ³ empfiehlt es sich 2 Quaternionen deren Quotient -1 ist (die Drehwinkel addieren sich zu 360°, die Drehachsenvektoren heben sich auf) zu identifizieren, um die Zuordnung zu den Drehungen eindeutig zu machen.

Werden 2 Drehungen des selben Objekts hintereinander ausgeführt, so gibt es eine Drehung deren alleinige Anwendung das Objekt in die gleiche Lage versetzt. Diese Drehung kann durch die Multiplikation der Matrizen oder Quaternionen errechnet werden. Weil die Multiplikation bei Matrizen und Quaternionen nicht kommutativ ist, stellt sich die Frage von welcher Seite die 2. Drehung ranmultipliziert wird. Ein einfacher Test beantwortet diese Frage. Gehen wir vom folgenden Drehsystem aus: 1. Drehung 90° um x, 2. Drehung 90° um y, 3. Drehung 90° um z. Die Orientierung unseres Koordinatensystems ist dabei durch das generische Kreuzprodukt festgelegt nämlich dass gilt x-Achse ^ y-Achse = z-Achse. Das durch Anschaulichkeit ermittelte Ergebnis diese 3 Drehungen ist eine einzige Drehung um 90° um y. Also suggestiv: xyz = y. Dieses Ergebnis erhalten wir nur, wenn die Drehungen von links an die vorigen Drehungen multipliziert werden. Außerdem ist damit auch der Winkel geklärt. In C entspricht i einem Winkel von 90°. Der Multiplikationstest zeigt, dass das bei den Quaternionen nicht stimmen kann. Die kleinsche Vierergruppe der Drehungen um 180° um die Achsen (also 180° um x + 180° um y = 180° um z) wird in ℍ erzeugt durch (j oder -j) * (i oder -i) = (-ij oder ij). Also entsprechen i,j,ij jeweils einer Drehung um 180° in H. Die 90° Drehung um x entspricht (1/V2 + i/V2). Statt die 2. Drehung an die 1. Drehung zu multiplizieren, kann sie auch randividiert werden. das ist gleichbedeutend damit, die 2. Drehung in die andere Orientierung auszuführen.


Drehgruppen

G =1 ≅ C1   Drehung um 0°

G = -1 ≅ C2   Drehung um 360°

G = -12 +  32𝐢 ≅ C3   Drehungen um 240° um die x, y, z Achse

G = -12  + 38𝐢 + 38𝐣 ≅ C3   Drehungen um 240° um die xy, -xy, yz, -yz, zx, -zx Achse

G = -12 +  𝐢2 +  𝐣2 +  𝐢𝐣2 ≅ C3   Drehungen um 240° um die xyz, -xyz, x-yz, xy-z Achse

G = 𝐢 ≅ C4   Drehungen um 180° um die x, y, z Achse

G = 𝐢2 + 𝐣2 ≅ C4   Drehungen um 180° um die xy, -xy, yz, -yz, zx, -zx Achse

G = 𝐢3 + 𝐣3 + 𝐢𝐣3 ≅ C4   Drehungen um 180° um die xyz, -xyz, x-yz, xy-z Achse

G = 3 - 58 + 5 + 58𝐢 ≅ C5   Drehungen um 144° um die x, y, z Achse

G = 3 - 58 + 5 + 516𝐢 + 5 + 516𝐣 ≅ C5   Drehungen um 144° um die xy, -xy, yz, -yz, zx, -zx Achse

G = 3 - 58 + 5 + 524𝐢 + 5 + 524𝐣 + 5 + 524𝐢𝐣 ≅ C5   Drehungen um 144° um die xyz, -xyz, x-yz, xy-z Achse

G = 12 +  32𝐢 ≅ C6   Drehungen um 120° um die x, y, z Achse

G = 12  + 38𝐢 + 38𝐣 ≅ C6   Drehungen um 120° um die xy, -xy, yz, -yz, zx, -zx Achse

G = 12 +  𝐢2 +  𝐣2 +  𝐢𝐣2 ≅ C6   Drehungen um 120° um die xyz, -xyz, x-yz, xy-z Achse

G = 12 + 𝐢2 ≅ C8   Drehungen um 90° um die x, y, z Achse

G = 12 +  𝐢2 +  𝐣2 ≅ C8   Drehungen um 90° um die xy, -xy, yz, -yz, zx, -zx Achse

G = 12 +  𝐢6 +  𝐣6 +  𝐢𝐣6 ≅ C8   Drehungen um 90° um die xyz, -xyz, x-yz, xy-z Achse

Diedergruppen

Dipol (D₁)

G = -1    volle symmetrische Gruppe des Dipols in ℝ    (Spiegelung am Ursprung)
    ≅ -1 0 0 -1    Drehgruppe des Dipols in ℝ²    (Drehung um 180°)


G = 𝐢/-1 =   1, -1 𝐢,-𝐢
    ≅𝐢,𝐣/𝐢𝐣=   1, -1,𝐢𝐣,-𝐢𝐣 𝐢,-𝐢,𝐣,-𝐣
    ≅ -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 ≅ C2   Drehung um 180°, Drehgruppe eines Dipols, 2-Eck, 1-Simplex, 1-Parallelotop in ℝ³

Raute, Rechteck (D₂)

G = 𝐢,𝐣/-1=   1, -1 𝐢,-𝐢 𝐣,-𝐣 𝐢𝐣,-𝐢𝐣   =  Q8/-1
    ≅ -1 0 0 1 1 0 0 -1 ≅ D2, Diedergruppe Rechteck, ungleichdiagonalige Raute, Spiegelung an x, y, Drehung um 180° um   0 0   in ℝ²
                                                         volle symmetrische Gruppe der Raute, des Rechtecks in ℝ²

    ≅ 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 ≅ V4, Drehgruppe eines Rechtecks, einer ungleichdiagonaligen Raute ℝ³


G = 12  +  32𝐢,   𝐣 /-1     ≅ D3 ≅ S3, Diedergruppe des gleichseitigen Dreiecks, 6 Elemente

G = 12  +  12𝐢,   𝐣 /-1     ≅ D4 ≅ Diedergruppe des Quadrats, 8 Elemente

G = 5 +14  +  5 - 58𝐢,   𝐣 /-1     ≅ D5 ≅ Diedergruppe des Fünfecks, 10 Elemente

dizyklische Gruppen

G = 𝐢,𝐣=   1, -1, 𝐢,-𝐢, 𝐣,-𝐣, 𝐢𝐣,-𝐢𝐣   =  Q8 ≅ Dic2, Quaternionengruppe

G = 12 +  32𝐢, 𝐣 ≅ Dic3 , dizyklische Gruppe Drehungen um 120°, 180° um die x, y, z Achse, 12 Elemente

Drehgruppen platonischer Körper

Tetraeder

4 Ecken, Flächen: (1,1,1) (1,-1,-1) (-1,1,-1) (-1,-1,1)
6 Kanten: (±1,0,0) (0,±1,0) (0,0,±1)

1 Drehung um 360°
6 Kanten = 3 Achsen * 1 (Dipol) Drehung um 180° = 3 Drehungen
4 Flächen + 4 Ecken = 4 Achsen * 2 (Dreieck) Drehungen um 120° = 8 Drehungen
Summe: 12 Drehungen

Erzeugung aus:
120°, (120°, 180°)

G = ±1, ±𝐢, ±𝐣, ±𝐢𝐣,  ±12 ±  𝐢2 ±  𝐣2 ±  𝐢𝐣2 / -1 = 𝐢 1 + 𝐢 + 𝐣 + 𝐢𝐣2 / -1 ≅ A4 ≅ T Tetraederdrehgruppe, 12 Elemente

Oktaeder, Würfel

6 Oktaederecken: (±1,0,0) (0,±1,0) (0,0,±1)
8 Würfelecken: (±1,±1,±1)
12 Kanten: (0,±1,±1) (±1,0,±1) (±1,±1,0)

1 Drehung um 360°
12 Kanten = 6 Achsen * 1 (Dipol) Drehung um 180° = 6 Drehungen
8 Oktaederflächen = 4 Achsen * 2 (Dreieck) Drehungen um 120° = 8 Drehungen
6 Würfelflächen = 3 Achsen * 3 (Quadrat) Drehungen um 90° = 9 Drehungen
Summe: 24 Drehungen

Erzeugung aus:
90°, (90°, 120°, 180°)
120°, 180°

G = 1 + 𝐢2 1 + 𝐣2/-1 ≅ S4 ≅ O Oktaederdrehgruppe, 24 Elemente 

Ikosaeder, Dodekaeder

12 Ikosaederecken: (±1.618, ±1, 0) (0, ±1.618, ±1) (±1, 0, ±1.618)
20 Dodekaederecken: (±2.618, ±1, 0) (0, ±2.618, ±1) (±1, 0, ±2.618) (±1,±1,±1)
30 Kanten: (±1,0,0) (0,±1,0) (0,0,±1) (±1.618, ±1, ±0.618) (±0.618, ±1.618, ±1) (±1, ±0.618, ±1.618)

1 Drehung um 360°
30 Kanten = 15 Achsen * 1 (Dipol) Drehung um 180° = 15 Drehungen
20 Ikosaederflächen = 10 Achsen * 2 (Dreieck) Drehungen um 120° = 20 Drehungen
12 Dodekaederflächen = 6 Achsen * 4 (Fünfeck) Drehungen um 72° = 24 Drehungen
Summe: 60 Drehungen

Erzeugung aus:
72°, (72°, 120°, 180°)
120°W, (120°D, 180°D)
120°D, 180°

G = 12  +   5 +14𝐢  +   5  - 14𝐣,   𝐢 /-1 ≅ A5 ≅ I Ikosaederdrehgruppe, 60 Elemente